小白学振动分析

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振动问题最简单的无阻尼单自由度系统：通常指的是弹簧下端固定在地面，上端放mg重物，起始点是静止位，将重物向上拉至弹簧舒展点，静止释放开始自由振动
    由几个坐标才能确定系统振动，就是几自由度系统。自由度是确定系统在空间上运动所需要的最少、duli的坐标系的个数。
    弹性体（或连续体）振动——须用无限多个duli坐标才能确定的系统振动，也称为无限自由度系统振动，以区别以上的单自由度和多自由度系统振动（有限自由度系统振动），如梁的振动。可以把连续体看成无数个小弹簧，那自然就有无数个自由度。
    从理论角度上讲，模态分析将物理空间上复杂的，耦合的运动方程通过特征值求解和模态变换方程变换到模态空间，在模态空间，这组物理空间上耦合的方程变成了一组解耦的单自由度系统的运动方程，如图3所示。我们可以将图3中的物理模型分解成一组单自由度系统，如图3中所示的蓝色1阶、红色2阶和绿色3阶等等。模态空间中每一个单自由度系统对应一阶固有频率，在模态空间使得我们更易于用单自由度系统去描述结构系统。
    至此，我们已经明白：1个自由度对应1阶模态（包括频率、阻尼和振型）。如图4所示为自由-自由梁的第1阶弹性模态，测量自由度为15，也就是说由这15个测量自由度绘得第1阶模态振型如图4所示。这阶模态是一个单自由度系统，但是在这个振型中却有15个测量自由度，而不是1个测量自由度。所谓测量自由度可以理解为测点，由于转换为1阶模态，他们都在正弦波上运动，因此完全可预测。
    我们在进行频响函数测量时，得到的频响函数如图5所示（dB显示），刚好，共振峰所对应的频率就是结构的各阶固有频率，按照频率从小到大的顺序，对应为1阶固有频率、2阶固有频率和3阶固有频率。至此，我们也就明白了，所谓的一阶频率、二阶频率实际上是指结构1阶模态频率、2阶模态频率，每阶模态都是一个单自由度系统，将频率按照从小到大的顺序排列就是第1阶，第2阶……，因此，每一阶模态都是一个单自由度系统。或者说，一个自由度对应一阶频率（或模态）。
    简单来说可以把复杂震动想成3个不同刚度且不会弯曲互相干涉的弹簧，顶部粘着强力塑料布，弹簧按各自的频率和振幅运动，塑料布在三个弹簧共力下出现貌似的不规则振动，我们在上面覆盖一些传感器，用仪器录取一段时间的振动信号转换为傅里叶频谱信号，就能得到这3个弹簧各自的频率、振幅、相位正弦波，这3个正弦波合起来就是塑料布的波形，其中分析出来的最小频率弹簧的参数，就叫做1阶模态（包括频率、阻尼和振型），以此类推包含2阶、3阶！理论上连续刚体都有无数个自由度，但实测一般是用共振峰对应的频率个数确定有几个自由度和几个固定频率。

跳空大哥

蛋王说，物理啥的一看就会，我是服了，一阶二阶高阶，我是一看就晕

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    共振是指系统受到外界激励时产生的响应表现为大幅度的振动，此时外界激励频率与系统的固有频率相同或者非常接近。共振是一种现象，共振发生时的频率称为共振频率。不管共振发生与否，结构的固有频率是不变的。当激励频率与固有频率相等或接近时，才发生共振。因而，共振频率不一定完全与固有频率相等，共振频率是按外界的激励频率来讲的，而固有频率是从结构来讲的。虽然很多情况下，都认为共振频率就是固有频率。 
    在频响函数曲线中，共振峰对应的频率为结构的固有频率，如图2所示。曲线峰值所对应的波峰称为共振峰，峰值频率对应结构的固有频率，在这个峰值频率处，对结构施加很小的激励能量，结构就会产生非常大的振动响应。当以dB形式显示频响函数时，特别当FRF为驱动点FRF时，会发现FRF曲线中有波谷，这些波谷称为反共振峰，在反共振峰频率处对结构施加激励，即使激励能量很大，结构也没有响应或者响应很微弱，也就是说在反共振峰频率处，结构很难被激励起来。若不考虑输入输出噪声，则共振峰处所对应的相干等于1，这是因为结构的响应完全是由当下的激励引起的，而在反共振峰处，相干很小（相干函数下坠），这是因为此处的响应与激励二者没有因果关系，所以相干很小，理论上是0值。例如，对于图2光标所示的三个频率：在共振峰300Hz处，FRF幅值为37.87dB；而在反共振728Hz处，幅值为-29.24dB；在共振峰与反共振峰的中间频率1122Hz处，幅值为7.05dB。而37.89dB约为79倍，-29.24dB约为1/29倍，7.05dB约为2.25倍。因此，在相同幅值的激励力作用下，在这三个频率处，响应分别被放大约为79倍，1/29倍和2.25倍。
    但很多情况，共振现象不是发生在单一频率（固有频率）处，而是具有一定宽度的共振带。也就是存在一个频率区间，在这个区间内，系统很容易发生共振现象。从图3中可以看出，曲线的波峰较宽胖，且阻尼越大，共振峰越宽胖，波峰越平缓。因而，对于有阻尼系统而言，当外界的激励频率接近，而非等于固有频率时，系统就会发生共振。或者说，共振不是出现在固有频率单值频率处，而是具有一定的频率宽度，我们把这个频率宽度出现的共振频带，称之为共振带。也就是说，在固有频率附近存在一个频率区间，在这个区间内，结构很容易出现共振。经常可以看到如图7红框所示的垂直于频率轴的具有一定宽度的高亮区域，这个区域就是共振带区域。这个区域一定是在结构的某一阶固有频率附近。从图7可以看出，共振区域并不随转速的变化而变化，而是始终垂直于频率轴。这是因为结构的固有频率是结构的固有属性，跟外界激励没有关系。
    为了测量结构的共振，需要在结构上安装振动传感器。激励频率必须是结构或材料正常工作时的频率成分。如果结构在这个频率范围内有共振，那么在响应的频谱中将会出现大的峰值。峰值所对应的频率就是结构的共振频率之一。如果没有峰值，那么共振频率应是位于这个工作频率范围之外。为了找到共振频率，需要应用宽带激励。
    另一方面，从避免共振的角度来讲，要求激励频率与固有频率有40%以上的频率间隔，这似乎是不现实的。因为，通常结构是多自由度系统，结构有多阶固有频率，当离某一阶固有频率远了之后，就会离相邻的一阶固有频率近。因此，通常要求激励频率离固有频率至少有15-20%的间隔。有一些行业普遍认同的观点，如在汽车行业，一般要求是距固有频率有3Hz的间隔或者15%的距离。

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为什么有的固有频率容易被激发，而另外一些不容易？
要使结构产生共振，要求激励频率要与某阶频率非常接近或相等。但除了这个因素之外，还要考虑FRF在不同固有频率处的幅值相对大小，幅值越大，越容易被外界激励起来；幅值越小越不容易被外界激励起来。我们知道，阻尼会影响FRF的幅值大小，如图3所示。阻尼越大，则FRF的幅值越低，因此，相对于那些小阻尼的固有频率而言，大阻尼的固有频率就更难被外界激励起来。另外一个方面，响应的大小还跟测量位置有关，我们知道固有频率是模态参数之一，模态振型有节点，在节点处，这阶模态的响应等于0，而不同阶模态，节点位置是不同的。因此。如果某一阶固有频率实际上已经被激励起来了，但是测点刚好位于这阶模态的节点位置处，那么，这阶模态（固有频率）好像看起来就像没有被激励起来一样。类似的扫频激励为什么这个件会被激励起来，另一个件却激励不起来这类问题，都从这几方面考虑。

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    有阻尼单自由度系统的运动方程有三种不同的情况。一种解针对系统阻尼小于临界阻尼（欠阻尼：ζ<1）；一种解针对阻尼等于临界阻尼（临界阻尼：ζ=1）；一种解针对阻尼大于临界阻尼（过阻尼：ζ>1）。欠阻尼是振动响应的幅值逐渐衰减的过程，如图1蓝色曲线所示；过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有发生振动，如图1绿色曲线所示；临界阻尼也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些。
    虽然三种阻尼情况的解都重要，但通常只考虑阻尼小于临界阻尼的情况（欠阻尼：ζ<1）。相对于欠阻尼，一种假想的情况是无阻尼，无阻尼单自由度系统的响应是正弦波，且幅值无衰减（简谐运动），如图2左侧黑色的单自由度系统，它的响应在右侧为幅值相同的黑色正弦波。而左侧蓝色SDOF是有阻尼的情况，其响应在右侧是指数衰减的波形。
    阻尼系数c和相对阻尼系数ζ（阻尼比），由于相对阻尼系数为阻尼系数与临界阻尼系数之比，它是一个无量纲，通常用百分数来表示。对于粘贴阻尼而言，阻尼力正比于速度。因此，阻尼系数c=F/v，故，它的单位为Ns/m。但这个单位不常用，常用的是kg/s
    阻尼的影响：有阻尼单自由度系统的运动周期比无阻尼情况下的周期略长，而周期的倒数是频率，因此，有阻尼固有频率（见公式）比无阻尼固有频率略小。但通常大多数结构的阻尼比小于10%，因此，可以忽略它对周期和固有频率的影响。
    无阻尼固有频率处的FRF幅值应是无穷大，但是由于阻尼的存在，导致共振频率处的幅值不会无穷大，其幅值为1/ωc，相位突变180º，表明在共振频率处，FRF的幅值主要受阻尼控制。阻尼在共振频率附近一定范围内，对减小振幅有显著作用，增加阻尼，振幅可以明显下降。在离开共振频率稍远的范围，阻尼对减小振幅的作用是不大的，尤其当激励频率远大于共振频率时，阻尼几乎没有什么作用。
    如图9所示。从这些图可以看出，阻尼增加，系统的响应反而减少。事实上，在共振频率处，系统的惯性力与弹性力平衡。这意味着唯一能平衡外力的只有阻尼力。注意到随着阻尼的增加，响应的幅值改变更平缓，且在一个更宽的频率范围内。随着阻尼的增加，相位滞后更平缓，也是在一个更宽的频率范围内。在测量的频响函数中总是可见到这两个效应。

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理论告一段落，准备实战研究

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各种谱函数的区别与应用：
    Peak波峰值，RMS有效峰值=0.707Peak，Peak峰峰值=2Peak
    频谱Spectrum，直接做傅里叶变换的直接结果即为频谱，它是复数值，有幅值和相位信息，同时将它们显示出来的图叫波德图bode。由于包含相位信息，可以在多次线性平均后，将相位杂乱无章的噪声信号平均掉。频谱是其它谱函数的基础。
    自谱或自功率谱（AutoPower）本质是复数频谱乘以它的共轭，转换为实数，无相位信息，由于它是乘积因此自谱有平方形式，称之为自功率谱，求平方根后为线性形式，称之为线性自功率谱（AutoPower Liner),线性自功率谱使用最普遍。
    频率分辨率实际应用时，可以将频率分辨率理解为在频率轴（频谱图的水平轴)）上得到的最小频率间隔。如果采样频率为fs，采样时间间隔为t，采样点数为N，采样时间为t（完成一组样本的采集所需要的时间），则频率分辨率为：频率分辨率△f=fs/N.
    功率谱密度PSD等于自功率谱/频率分辨率。不同的频率分辨率可能对应的谱函数幅值不同，PSD消除了频率分辨率的影响，各类国标一般用PSD描述频域结果。如4-60与4-61，随机信号在不同分辨率下的幅值不同，一般随机信号用PSD。

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各种谱函数的区别与应用：
    形如a+bi（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位。复数通常用z表示，即z=a+bi，当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。
    将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣。即对于复数，它的模|z|=sqrt（a^2+b^2)
    共轭复数。对于复数z=a+bi，称复数~z=a-bi为z的共轭复数。复数乘以它的共轭，即为模∣z∣

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分贝dB：
    功率比10lg(W/W0),幅值比20lg(X/X0),下标为0的数值均为幅值和功率的参考值。功率量的例子如声功率(W)、声强(W/m^2)、电功率、电强等。幅值量的例子如声压(Pa)、电压(V)、加速度(m/s^2)、温度等。无特殊要求参考值为1，常见参考值见1-7。
    人耳听力为20uPa~20Pa，范围巨大不好度量，且听力特征类似对数，声音越大听觉灵敏度越下降，因此用分贝表征声压级，人的听力20uPa~20Pa对应0-120dB，常见的分贝与声压表见1-8
    dB值可正可负。正值表示增大，负值表示衰减。若x/x0<1，则 dB 值为负值。也就是说测量值大于参考值时为正，小于参考值时为负，等于参考值时为0dB。
    几个特殊值：-3相当于功率降一半，-6幅值比50%，-10幅值比31.6%，-20幅值比10%，-30幅值比3.16%，-50幅值比0.316%。见表1-9

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傅立叶变换 复杂事情简单化